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Intersezione di due superfici con generatrici curve:

Poniamo il caso (fig. 5) di due superfici con gli assi a, b incidenti ed appartenenti ad un piano di profilo. La quartica d’intersezione è digrammica e simmetrica rispetto a due piani: uno è g, l’altro è b, passante per C e con giacitura perpendicolare all’asse b, del toro.

Per la determinazione della quartica formata in questo caso dai punti comuni ai paralleli del toro ed a quelli della superficie ad asse verticale, ci serviamo di sfere ausiliarie secanti ambedue le superfici. Le dette sfere hanno il centro nel punto d’incontro C tra gli assi, quindi si ripresenta il caso d’intersezione tra superfici con assi coincidenti (perché l'asse del toro coincide con uno degli infiniti assi della sfera).cioè permesso, si deduce che le intersezioni tra le sfere ausiliarie e le superfici sono circonferenze. Nel caso in esame l’intersezione tra le sfere ausiliarie con il toro, sono circonferenze che appartengono ai piani frontali e perciò hanno la 2° proiezione in vera forma. In 1°P.O. si presentano come segmenti (proiezioni dei diametri).

Nel caso d’intersezione tra le dette sfere con la superficie ad asse verticale, le ciconferenze-sezioni appartengono a piani orizzontali e perciò hanno la 1°P.O. in vera forma, e la 2°P.O. come segmenti.

I punti della quartica sono dunque individuabili sia in 1°che in 2°P.O. come punti comuni alle sezioni prodotte da ogni singola sfera ausiliaria con le due superfici.

Ad esempio il punto E, appartiene sia al parallelo Q del toro, che al parallelo e, sezioni , rispettivamente, della sfera con il toro e con la superficie principale. Il raggio di questa sfera secante è il segmento C?D, poiché D appartiene allo stesso parallelo-secante Q relativo al toro.

L’individuazione dei punti, A, B, di massima e di minima quota della quartica (riferendosi solo al ramo destro) è immediata e non richiede l’ausilio di sfere secanti , poiché detti punti appartengono al piano frontale b (piano di simmetria longitudinale) e quindi la 2° P.O. delle sezioni coincide con la seconda proiezione dei contorni apparenti di entrambe le superfici, rispettivamente, i paralleli, D, F, di raggio massimo e minimo del toro e la generatrice H della superficie ad asse verticale .

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Intersezione di due superfici, di cui una a generatrice rettilinea e l'altra a generatrice curva.

Intersezione tra un cilindro e una sfera

Nei vari casi il tipo di curva d’intersezione dipende sia dalla reciproca posizione degli assi delle due superfici che dalla misura del loro diametro. I casi sono i seguenti:

La quartica d’intersezione che si ottiene è digrammica, composta da due rami simmetrici rispetto al piano di profilo d e perciò le seguenti descrizioni sono riferite ad un solo ramo. Nelle condizioni di giacitura in esame è conveniente l'utilizzo dei piani secanti sia frontali che orizzontali, poiché questi piani sezionano il cilindro secondo e la sfera secondo circonferenze.

Punti notevoli della quartica d'intersezione nella rappresentazione in P.O. :

  1. I punti di tangenza F, E appartenenti alle generatrici di contorno apparente del cilindro in prima P.O.
  2. I punti tangenza B, D appartenenti alle generatrici di contorno apparente del cilindro in seconda P.O.
  3. I punti di minima e massima quota della quartica che in questo caso coincidono con i punti B, E, poiché il piano secante è frontale.
  4. I punti G, H appartenenti al piano g di simmetria longitudinale della quartica, (vedi 3°P.O.), e che rappresentano con i relativi simmetrici del secondo ramo rispettivamente i punti più vicini e più lontani della quartica rispetto al piano di simmetria trasversale .
Concluse le necessaire note preliminari si procede all'individuazione dei sopraddetti punti notevoli nello spazio e nelle proiezioni ortogonali.
  1. Nella 1°P.O si cercano i 2 punti in cui la quartica è tangente il contorno apparente del cilindro. Questi due punti E, F sono in comune la circonferenza g e le due generatrici b, d.vengono determinati mediante il piano orizzontale a, che seziona rispettivamente sia la sfera sia il cilindro.

  2. la 1° P.O. della circonferenza, g1 ha il diametro individuabile in 2°P.O come segmento delimitato dai punti d’incidenza tra t"a e il contorno apparente della sfera.

    La 1°P.O. delle generatrici, b1, d1 coincide con la 1° P.O. delle generatrici di contorno apparente del cilindro. La 2° P.O. b2,d2 coincide con la seconda traccia del piano a(piano proiettante in 2° proiezione).

  3. Altri 2 punti notevoli sono quelli in cui la quartica è tangente al contorno apparente del cilindro in 2° proiezione ortogonale. Detti punti sono B, D, comuni alla circonferenza f e alle generatrici h, i , determinati mediante il piano orizzontale b, che seziona rispettivamente la sfera ed il cilindro.

  4. La 1°P.O. della circonferenza, f 1 coincide con t'b (piano proiettante in prima proiezione).

    La 2°P.O. f 2, ha diametro individuabile in 1°P.O come segmento delimitato dai punti d’incidenza tra t"a e il contorno apparente della sfera.

    La 1° P.O. delle generatrici, h1, i1 coincide con prima traccia del piano, t'b. la 2° P.O., h2, i2 coincide con la 2° P.O. delle generatrici di contorno apparente del cilindro.

  5. I punti G, H della quartica sono rispettivamente il punto più vicino e quello più lontano, rispetto al piano di simmetria trasversale. Tali punti sono in comune all circonferenza n e alle due generatrici m, l. Ambedue le sezioni sono eseguite con il piano g (piano di simmetria trasversale), che contiene l'asse del cilindro e passa per il centro della sfera.
La terza proiezione delle dette sezioni coincide con t'''g. La prima e la seconda P.O. della circonferenza,n1ed n2, sarebbero ellissi, quindi per trovarne la vera forma si effettua il ribaltamento del piano secante g su uno dei piani di proiezione oppure su un piano ad essi parallelo; in questo caso ribaltando g sul piano di profilo d si hanno le sezioni ribaltate, n* ed l* , m*, dalla cui intersezione si hanno i punti G*,H*. Le distanze G*-G3 ed H*-H3 sono uguali alle distanze intercorrenti tra le 2°P.O. dei punti, G2,H2 e la seconda traccia del piano, t"d , ospitante detto ribaltamento; si noti che la 1° e 2° P.O. dei punti G,H sono altrettanto individuabili assumendo dei piani secanti orizzontali, le cui tracce sono individuabili in 3°P.O., poiché passano per G3 e H3. Con procedimento analogo a quello del punto 1 si individuano i suddetti punti.

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