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Intersezione tra superfici con generatrici rettilinee


1-3- Intersezione tra superfici con generatrici rettilinee:

 1-3-1- Intersezione tra due coni (fig. 2). 

Poniamo il caso di due coni circolari retti con assi (a, b) incidenti e paralleli rispettivamente ai due piani di proiezione principali (p1,p2).

Per trovare la curva comune alle due superfici, si sezionano i due coni con un fascio di piani ausiliari passanti per i vetrici V ed E: ciascuno di questi piani taglia i due coni, secondo due generatrici. Fatta eccezione per i due piani che sono tangenti, rispettivamente all'uno oppure all'atro cono. I punti comuni alle generatrici complanari costituiscono la quartica (digrammica) d'intersezione cercata. A tal fine, si uniscono i due vertici V ed E secondo la retta r(comune a tutti i piani ausiliari), che intersecano con i piani delle direttrici, p1ed a, nei punti T'r, G.

Si vogliono trovare alcuni dei punti notevoli della quartica d'intersezione, come i punti F, H, in cui le generatrici del cono di vertice V sono tangenti alla quartica. Si Assume il piano ausiliario g per r e tangente il cono di vertice V, piano individuato sia dalla retta r che da l (retta passante per il punto G e tangente, in FE, la direttrice d del cono ad asse orizzontale). Quindi si costruisce la generatrice tangente d del cono ad asse orizzontale con il piano g, unendo il vertice E con il punto FE della direttrice orizzontale.

La sopraddetta retta l interseca il piano della direttrice del cono di vertice V nel punto T'l , che congiunto con T'r determina la retta d'intersezione t'g del piano ausiliario con quello della direttrice (p1). Una volta individuati i punti Fv 1 ed H v 1 , incidenza tra t'g con la direttrice QV1, si congiungono con Ve cosi si ottengono le due generatrici m, f, sezioni del piano ausiliario g con il cono ad asse verticale. I punti comuni tra le generatrici m, f e quella di tangenza d sono i punti cercati.

Per completare la costruzione della quartica, occorre assumere altri piani ausiliari, fino a determinare un numero sufficiente di punti. Nella figura in esame si sono determinati altri punti come A, B (quelli di massima e di minima quota), comuni in questo caso alle generatrici h, g ed e, n, sezioni rispettivamente dei due coni col piano frontale b (contenente gli assi delle due superfici).

 Nota: poiché la quartica è simmetrica, rispetto al piano b, ci siamo riferiti ad una sola parte per la determinazione dei sopraddetti punti della quartica.

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1-3-2- Intersezione tra due cilindri (fig.3). 

Per trovare la quartica d’intersezione, i piani ausiliari secanti da assumere: sono quelli paralleli agli assi dei due cilindri, poiché contengono i vertici impropri dei due cilindri.

1-3-3- Intersezione tra un cono e un cilindro (fig. 4) 

La quartica d’intersezione in questo caso, è determinata assumendo dei piani ausiliari passanti per il vertice delle due superfici, vale a dire quei piani che hanno in comune la retta r, quella passante per il vertice del cono e paralleli all'asse del cilindro.

  Nota: il cilindro è considerato un cono con il vertice improprio e perciò in ciascuno dei tre casi precedenti, i piani secanti sono quelli passanti per i vertici delle due superficie presi in esame.

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