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Isawi HomePage / Geometria descrittiva / laboratorio 2005/2006 / Esercitazioni


Tav. 06: Problemi di misura

angolo tra retta e piano angolo tra piani incidenti
06-1: Angolo tra due rette sghembe 06-2: Angolo tra una retta ed un piano 06-3: Angolo tra due piani
   
    06-3(bis)

06-1: Angolo tra due rette sghembe ( piano per una retta e parallelo ad una altra retta)

L'angolo tra le direzioni di due rette sghembe m ed n, quello che appartiene alla giacitura di un piano alpha che passi per una delle due rette date, ad esempio per m, e in modo che sia parallelo all'altra retta n. Per inciso, si sceglie un punto P di m e per esso si fa passare la retta r parallela ad n. 
In questo modo si individua una piano alpha con giacitura parallela alle direzioni delle rette m ed n e per cui  possibile visualizzarvi tale angolo in vera misura. 


06-2: Angolo tra una retta ed un piano ( piano per una retta e perpendicolare ad un altro piano)

l'angolo di una retta r con un piano alpha, tra loro incidenti, quello formato da due rette r ed s: rispettivamente, r come retta data ed s come retta d'intersezione tra il piano alpha con un secondo piano beta passante per r ed perpendicolare ad alpha.

Esempio

Dati le P.O. di una retta r e di un piano alpha (disegno in alto a sinistra). In cui r individuata da un segmento D_T'r, ed  alpha da un triangolo ABC. Si vuole determinare la vera misura dell''angolo formato tra r con alpha.

Procedura

- si restituiscono le posizioni oggettive di r e di alpha ( disegno in basso a sinistra)

- si determina E come punto d'intersezione tra r con alpha ( vedi la procedura in tav.4-1 ).

- si determina  p come retta perpendicolare ad alpha ( vedi procedura in tav.5-2) . si tiene presente che r pu passare per qualsiasi punto appartenente ad r,   come quello del punto D

- si determina F come punto d'intersezione tra la retta p con il piano alpha (come in tav.4-1 ).

 - si congiungono i punti F ed E e si individua la retta s come intersezione tra i piani alpha e beta.

- si dispone il piano di costruzione in modo da averlo coincidente con il piano beta

- infine impostando il punto di vista con direzione perpendicolare al piano beta si ha la vera misura dell'angolo cercato ( disegno in alto a destra)


06-3: Angolo tra due piani incidenti ( piano perpendicolare a due piani incidenti)

L'angolo tra due piani incidenti alpha e gamma, quello formato da due rette a ed b, ottenute, rispettivamente, sezionando i piani alpha e gamma con un terzo piano beta perpendicolare ad entrambi i piani. A tale fine e in considerazione del fatto che un piano beta perpendicolare ad un altro piano alpha, quando risulta perpendicolare ad una retta appartenente ad alpha. Per cui un piano beta perpendicolare a due piani incidenti alpha e gamma, quando beta  risulta perpendicolare alla retta comune a tali piani alpha e gamma.

esempio:

Dati le P.O. di due piani incidenti alpha e gamma, rappresentati in questo caso da due triangoli,rispettivamente, ABC ed DEF. Per determinare l'angolo tra tali piani, si procede come di seguito:

- si restituiscono le giaciture dei due piani dati

- si determina la retta d'intersezione s tra alpha e beta

- si determina un piano beta perpendicolare alla retta s

- si determinano le retta a ed b come rette d'intersezione tra il piano beta con i piani alpha e gamma

- si dispone il piano di costruzione in modo da averlo coincidente con il piano beta

- infine, si imposta il punto di vista con direzione perpendicolare al piano beta e, in questo modo,  si ha l'angolo cercato in vera misura, quello formato, in questo caso, dalle rette a ed b.

angolo tra piani incidenti


Note

- un piano beta perpendicolare a due piani, se beta perpendicolare alla retta comune di tali piani

- una retta r perpendicolare ad un piano gamma, se r perpendicolare a due rette di  gamma.

- una retta r perpendicolare ad un'altra retta a, se tali  rette r ed a sono complanari e formanti tra loro un angolo retto.

- due rette sono complanari se giacciono su un stesso piano.


Tav.06-3(Bis) - Ulteriori chiarimenti della tavola 06-3

La finalit di questa tavola quella di evidenziare le operazioni atte a determinare la giacitura del piano beta, che deve essere perpendicolare alla retta s comune ai piani alpha e gamma. Per cui, in figura 3 si nota allineamento dell'asse x con la retta s. In figura 4 viene ruotato di 90  il piano di costruzione xy avendo y come asse di rotazione. 
In questo modo il piano xy coincidente con beta, ha la giacitura perpendicolare alla rette s. Con tale giacitura vengono sezionati i piani alpha e gamma e, cosi, si hanno le rette a ed b che sono quelli che formano l'angolo cercato. Per visualizzazione tale angolo in vera forma si dispone il punto di vista con direzione perpendicolare al piano beta ( fig.5).