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TAV. 05: Problemi di misura

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05-1: Distanza di un punto da una retta 05-2: Distanza di un punto da un piano 05-3: Distanza tra due rette sghembe

05-1: Distanza di un punto da una retta ( perpendicolarità tra due rette complanari)

La distanza minima di un punto P da una retta r, non passante per lo stesso P, si misura su un segmento P_Q che appartiene ad una retta s perpendicolare a tale retta r. Gli estremi P_Q di tale segmento sono, rispettivamente, P, come presupposto e Q come punto d'intersezione tra le rette r ed s.

Per esempio stabilito di avere le P.O. di una retta generica r e di un punto P. La distanza di P da r si determina con le seguenti operazioni: - si procede, innanzitutto, a restituire le posizioni oggettive degli elementi dati. Poiché un piano alpha può essere individuato da una retta r e da un punto P, percui, si dispone il piano costruzione in modo che passi per tali elementi: P ed r. In questo modo si ottiene la misura oggettiva della distanza tra il punto P e la retta r.


05-2: Distanza di un punto da un piano ( perpendicolarità tra retta e piano)

La distanza minima di un punto P da un piano alpha, si misura su un segmento P_Q che appartiene  ad una retta r perpendicolare ad alpha. Gli estremi di tale segmento P_Q sono, rispettivamente, P, come presupposto e Q come punto d'intersezione tra la retta r con alpha. Si tiene presente che una retta r è perpendicolare ad un piano alpha quando risulta perpendicolare a due rette di alpha.

Per esempio ( fig. ), stabilito di avere le P.O. di un piano alpha individuato da tre punti ABC e, anche, quelli di un punto P non appartenete a tale piano. La distanza di P da alpha si determina con le seguenti operazioni: - si procede, innanzitutto, a restituire le posizioni oggettive degli elementi dati. Si dispone il piano costruzione in modo che risulti coincidente con il piano oggettivo alpha. Si traccia per il punto P una retta perpendicolare ad alpha. - Si determina il punto d'intersezione Q tra La retta r con il piano alpha.


05-3: Distanza tra due rette sghembe ( retta perpendicolare a due piani paralleli)

La distanza minima tra due rette  sghembe* a ed b, si misura su un segmento B_C appartenente  ad una retta r perpendicolare a due piani alpha e beta che sono paralleli tra loro e passanti, rispettivamente,  per le rette a ed b.

La soluzione del problema in questione tiene in considerazione quanto segue:

- due piani alpha e gamma sono tra loro paralleli, quando si verifica che uno dei due piani, ad esempio alpha, ha due rette a ed b, paralleli a due rette c ed d dell'altro piano beta. 
- una retta a è parallela ad un piano beta, quando a è parallela ad una retta c appartenete a beta.
- una retta a è parallela ad una retta c, quando due proiezioni ortogonali di a, come ad esempio a1 ed a2, sono paralleli a quelli di c, come c1 ed c2. 

Esempio

Dati le P. O. di due rette sghembe a ed b, rappresentati rispettivamente, da due segmenti A_T'a ed B_T'b. Si vuole determinare la distanza minima tra tali rette

Procedura

 - si restituiscono le posizioni oggettive delle rette date

- - si prende un punto A della retta A e per esso si fa passare una retta parallela alla b  (//b)

- si prende un punto B della retta b e per esso si fa passare una retta parallela alla a (//a)

- si individua il piano alpha passante per le rette a ed (//a)

- si individua il piano beta passante per le rette b ed //b

- si determina una retta d perpendicolare ai due piani alpha e beta che per costruzione sono tra loro paralleli.

- si fa coincidere  il piano di costruzione con il piano alpha

- si traccia per B una retta d perpendicolare al piano alpha che  interseca lo stesso alpha nel  punto C

In fine, la misura del segmento B_C, rappresenta la distanza cercata.


Tav05-3


Note

Due rette si dicono sghembe quando non hanno in comune nessun punto ne proprio ne improprio, cioè, non è possibile ottenere nessun piano che passi per tali rette. 

Due rette distinte si dicono in generale complanari quando hanno in comune un punto P che può essere proprio o improprio. In particolare vengono detti incidenti quando P è reale e, invece, paralleli quando P è immaginario, cioè rappresentato da una direzione comune a tutte le rette che sono tra loro paralleli..
Inoltre si tiene presente che due rette complanari individuano un solo piano.