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Geometria descrittiva / laboratorio/ Esercitazioni 2005/2006

 TAV. 4:  
1- punto d'intersezione tra una retta ed un piano. 
2- retta d'intersezione tra due piani


1- punto d'intersezione tra una retta r ed un piano generico alpha

il punto d'intersezione di una retta data r con un piano dato alpha, viene individuato come punto Q comune a due rette, di cui una, come presupposto, Ŕ la retta r, l'altra retta pu˛ essere ottenuta come intersezione reale tra alpha con  un qualsiasi  piano ausiliario beta passante per  r. Tra i numerosi piani ausiliario che si possono assumere, di frequente, si sceglie di utilizzare un piano verticale. Scelta motivata dal fatto che la retta d'intersezione tra due piani, di cui uno Ŕ verticale, ha, in tutti i casi,  la prima proiezione ortogonale coincidente con la prima traccia *di tale piano verticale e quindi facilmente individuabile.

Esempio

Dati le proiezioni ortogonali di un piano alpha individuato  da tre punti:non allineati ABC e, anche, quelli di una retta r individuata da due punti: T'r_P. Si vuole determinare il punto d'intersezione Q tra la retta r con il piano alpha.

Procedura

- si assume per r un piano ausiliario verticale beta. ne consegue che  la prima traccia di beta coincide con la prima proiezione di r

- si individua la retta d'intersezione s tra i piani alpha e beta,  determinando e congiungendo due punti D ed E comuni a tali piani.  la determinazione di tali punti D ed E avviene come intersezioni tra le rette A_B e A_C  con quelli verticali passanti per le prime proiezioni degli  stessi punti D ed E.

- In fine si individua il punto cercato Q come intersezione tra la retta individuata s e la retta data r.


2- Retta d'intersezione tra due piani

La retta d'intersezione s tra due piani dati: alpha e beta, Ŕ il luogo geometrico dei punti che hanno la proprietÓ di essere comuni ad entrambi tali piani. In considerazione del fatto che sono sufficienti due soli punti distinti per individuare una retta, per cui, nelle seguenti e distinte sequenze di operazioni chiamati: "sequenza I" e  "sequenza II", si procede a determinare due punti P e Q che godono di tale proprietÓ. 

Sequenza I

- si sceglie una retta a appartenente al piano gamma e per essa si fa passare un piano ausiliario verticale beta.

- si determina la retta b come intersezione tra il piano ausiliario beta con l'altro piano dato alpha.

- si determina il punto P come intersezione tra la retta scelta a e la retta determinata b

Sequenza II

- si sceglie una retta c appartenente al piano gamma e per essa si fa passare un piano ausiliario verticale delta.

- si determina la retta d'intersezione d tra il piano ausiliario delta con il piano alpha.

- si determina Q come punto d'intersezione tra la retta scelta c e la retta determinata d

Infine Congiungendo i punti P e Q si ha  la retta cercata s come intersezione tra i piani dati alpha e gamma.


Tav.4: punto d'intersezione di una retta con un piano e, anche, retta dýintersezione tra due piani

Nella tavola 4,quella visualizzata qua sopra, le tre  finestre della prima riga fanno riferimento al problema d'intersezione di una retta r con il piano generico alpha. Invece quelli  della seconda riga fanno riferimento al problema d'intersezione due piani generici alpha e gamma


Note

la prima traccia di un piano beta Ŕ la retta d'intersezione tra beta con il primo piano di proiezione Pigreco1