Hasan_Isawi HomePage / Geometria / Glossario

Simbologie e definizioni geometriche

A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z

Alfabeto greco

 A a  alfa, B b b beta , D d d delta, E e e ipsilon , H h e eta., I i i jota., K k k kappa., L l l lampda., M m m mi., N n n ni., X x _x xi. , O o o omicron., P p p pi. , R r r rho. , S s s sigma. , T t t tau. , U u y Ypsilon. , F f ph phi. , C c ch chi, Y y ps _psi. , ZZ , G g g gamma, Q q th theta , W ω o omega, Z z z zeta.

Affinit� omologica: un tipo di corrispondenza tra punti e tra rette di due figure appartenenti allo stesso piano. Il centro dell'affinit� con cui sono allineati i punti corrispondenti, � un punto  improprio. La direzione del centro dell'affinit� pu� essere, sia, perpendicolare all'asse del omologia detta affinit� ortogonale, sia  obliquo detta affinit� obliqua. 

Per esempio: sia assegnate , su un stesso piano Pigreco,  due figure corrispondenti Delta' e Delta" :  ottenute come proiezioni di una stessa figura oggettiva Delta.

- Il centro dell'omologia (simboleggiato con U) si determina, in generale, come Punto d'intersezione della retta passante per i due centri di proiezione con il piano dell'omologia.

- l'asse dell'omologia si determina come retta d'intersezione di un piano Alpha contenete la figura oggettiva Delta con il piano dell'omologia Pigreco: contenete le due proiezioni Delta' e Delta".

Le propriet� affini

- rette incidenti hanno come corrispondenti rette incidenti. le rette incidenti comprendono Le rette che hanno in comune sia un punto proprio sia improprio

- si mantengono le proporzioni dimensionali tra l'oggetto e il suo omologo, Per esempio il punto medio M di un segmento oggetto A-B,  ha come omologo il punto medio M' del segmento corrispondente A'-B'.

Un interessante sito da visitare,  che affronta argomenti riguardanti le trasformazione geometriche piane, � il seguente: http://www.frattali.it/indexnoframe.html (a cura di Lotti Laura)

Angolo

La misura di un angolo piano in radianti � l'arco di cerchio di raggio unitario sotteso tale angolo piano

la misura di un angolo solido in stereoradianti � l'area di superficie sferica di raggio unitario sottesa a tale angolo solido
se consideriamo che l'area di una sfera � = 4.raggio al quadrat.pigreco, l'angolo solido sferico � = 4pigreco stereoradianti.
se consideriamo un cubo insciritto o circoscritto alla sfera, le diagonali di tale cubo, come spigoli di piramidi, definisco nello spazio 6 angoloidi uguali. L'ampiezza di tali angoloidi tetraedri � = 1/6.4pigreco = 2pigreco/3. 
� delimitano sulla sfera 6 parti uguali che sono l4 angoloidi tetraedri.
per l'ottaedro avremo 1/84pigreco= Pigreco/2. per dodecaedro regolare, l'angoloide pentaedrico avr� ampiezza= 1/12.4Pigreco=pigreco/3 stereorad.
per un solido di n facce inscritto in una sfera l'angolide sar� di 4pigreco/n.1 stereorad.

_______________________________________________--___sito di riferimento enciclopedia di Corrado Brogi.

Angoloide: angolo formato dalle facce di una piramide. Seconda  il numero di facce , 3, 4, 5 ... ecc., l'angoloide viene detto, rispettivamente,  triedro,  tetraedro e pentaedro ... ecc. ( Vedi link)

Bisettrice di un angoloide K, � il LUOGO GEOMETRICO, DEI PUNTI EQUIDISTANTI DALLE FACCE di K.

Qui, per definire un angoloide, bisogna per forza, fa riferimento ai coni quadrici, dicendo: un angoloide si distingue in due categorie:

-  la prima comprende quelli che hanno tutte le proprie  facce tangenti un quadrica*.

* Con il termine quadrica, in questa sezione, si vuole include i coni, i cilindri, che possono essere:  di rotazione, ellittici, parabolici ed iperbolici *.

 *  ..  certo che la domanda che nasce spontanea � come si modellano i coni iperbolici?". Visto che nei programi di grafica 3d, si  riesce con costruzione geometriche  laboriose a costruire un cono ellittico)

Noto: i triedri sono angolidi che ammettono che le prorie facce siano tangenti un cono di rotazione,  o semplicemente  inviluppatori di coni di rotazione. quindi � leggitimo dire che  il triedro � un angolide quadrico e Secondo il reciproco rapporto di ugualianza tra gli  angoli che formano, due a due, le prorie facce, si pu� distinguere in:  isometrico, dimitrico, e trimetrico

---

Bisettrice

Nel piano
la bisettrice di un angolo piano di vertice V, � la retta che ha la propriet� di essere il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle due retta formanti tale angolo.

Nello spazio
la bisettrice di un angoloide di vertice V, � la retta che ha la propriet� di essere il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle facce formanti quel angoloide.
se l'angolo solido � formato da un cono di rotazione, la bisettrice di tale angoloide �, senza dubbio la retta passante per il centro di una sezione circolare di tale cono.
se l'angolo solido � formato da un angoloide poliedrico che ha come propria sezione retta un poligono regolare, anche in questo caso e senza dubbi, la bisettrice di tale angoloide � la retta passante per il centro della circonferenza inscrittta o circoscritta a tale poligono.
- nel caso in cui si ha un triedro generico(quello che non � nota una sua sezione retta), la bisettrice si determina come retta comune ai piani che bisecano le facce di tale triedro.

nota : condizione per cui un quadrilatero e in generale un poligono � inscrittibile in una circonferenza. se due angoli interni opposti sono supplementari (=180)

C-

Cicloide (figura)
Com'� noto, la cicloide � la curva descritta da un punto P rigidamente collegato ad un cerchio C che, senza strisciare, rotola su una retta fisssa AB . L'arco completo ABD ha una lunghezza 8 r ( r = raggio del cerchio generatore), e la superficie compresa tra un arco completo e al retta fissa � 3pr ². La curva cicloide � "brachistocrona", cio� curva di minimo tempo ......  (Evangelista Torricelli)

Circonferenza (copia cach) :  clicca sul URL seguente per consultare le Propriet� della circonferenze e non solo _____http://www.istruzioneonline.it/archivio/recupero_materie/classe2e3g/matematica/indice.htm :

Definizione:� si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che sono tutti alla stessa distanza da un fisso chiamato CENTRO� della CIRCONFERENZA.�La distanza fissa citata si chiama RAGGIO della CIRCONFERENZA.��� La parte interna alla circonferenza si chiama CERCHIO.
� ................ http://www.istruzioneonline.it/archivio/recupero_materie/classe2e3g/matematica/indice.htm :  ...  altri voci :  CORDE� ED� ARCHI  TANGENTI� E SECANTI�  ANGOLO AL CENTRO ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA� TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA�PROPRIET� DI CORDE� E SECANTI

Conica
sezione piana di un cono quadrico, con il variare della giacitura del piano sezionante, la conica pu� essere ellisse parabola o iperbole.
Per costruire una conica � sufficiente avere almeno 5 elementi tra punti della conica e rette tangenti, il completamento della conica � determinato impostando sugli elementi noti una proiettivit� tra fasci di rette a centri distinti o proiettivit� tra punti di due rette distinte. (Geometria proiettiva - Prof. Adriano Capo)

Congruenza: due o piu figure si dicono congruenti se hanno la stessa estensione e la stessa forma

Coniugati
due corde si dicono C. se una contiene il polo dell�altra; la polare del punto comune alle due corde � la congiungente i due poli delle due corde. 
Idem per due diametri coniugati, il punto comune � centro geometrico della conica. Se detti diametri C. formano tra loro 90� gradi si chiamano rispettivamente asse maggiore e minore, l�intersezione tra gli assi con la conica si dicono vertici.

Cono quadrico: cono che ammette come sezione una conica.

Cono circolare retto: particolare cono quadrico poich� la sua sezione perpendicolare all'asse � un cerchio.  

Corrispondenti: elementi legati da operazione di proiezione e sezione.

Corrispondenza prospettiva: nel caso in cui si passa dagli elementi di sostegno a quelli di un altro con una sola operazione di proiezione e sezione.

Corrispondenza proiettiva: quando si proietta un oggetto su di un piano si ha un immagine A'. Proiettando A' con un nuovo centro si ha una seconda immagine A'' e cosi di seguito. Tra il primo oggetto e la seconda immagine esiste una corrispondenza proiettiva

TORNA INIZIO 

D

Diedro: spazio delimitato da due semipiani incidenti . Per esempio in proiezioni ortogonali il primo diedro � lo spazio delimitato dal semi piano anteriore di p1 e dal semipiano superiore di p2 .

E

Ellisse - 
_- completare un ellisse  dati 5 suoi punti
_- trovare due diametri coniugati
_- trovare centro e assi di un ellisse dati due diametri coniugati

Equivalenza: due o piu figure si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. L'estensione di una figura si riferisce alla dimensione della sua area.

F

Fascio di piani, si riferisce a quei piani che hanno in comune una retta , detti piani a ventaglio. Invece i  piani che hanno un punto in comune si dicono stella di piani.

 per chiarire, in parte alcuni confusioni sul utlizzo di  alcuni termine della geometria descrittiva riguardo l'appartenenza, facciamo la seguente osservazione:

 assegnato un punto P, per esso passano infinite rette, detti stella di rette K. Per le rette di K passano infiniti  piani, identificati " stella di piani con centro in P" per  le rette di K viene a formarsi una stella di piani L. Sezionando i piani di L con un piano passante per P viene a formarsi un fascio di rette M. Facendo passare piani,  ciascuno, per una retta di M e  per una retta s passante per P ma non appartiene al  piano di M, si forma un fascio di piani N con centro in P

G

Grafica Glossario

Iperbole: Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali � costante la differenza delle distanze tra due punti detti fuochi (F' ed F).
Pertanto si ha che PF - PF' = 2a. L'iperbole � simmetrica rispetto a due assi , uno viene detto asse trasversale e passa per i due fuochi; l'altro, asse non trasversale e passa per il punto medio dei due fuochi ed hadirezione perpendicolare all'asse trasversale.
 __ per ulteriori approfondimenti consultare il seguente sito  http://www.macchinematematiche.unimo.it/ __

Monge Gaspard  matematico francese (1746-1818) ha il merito di aver codificato il metodo delle P.O. , mettendo in relazione pianta e prospetto di un   ----------------------  oggetto  in modo da definire inequivocabilmente la restituzione di qualsiasi misura, forma e volume allo spazio

O

Omotetia: � una corrispondenza biunivoca tra due figure simili che pu� essere applicata sia nello spazio sia nel piano. la propriet� principale � quella che oltre ad avere i vertici corrispondenti allineati con un punto proprio, detto centro dell'omotetia, � anche quella di avere  le rette corrispondenti tra loro paralleli.

Omotetia inversa: un tipo particolare di corrispondenza omotetica, in cui i punti corrispondenti oltre ad essere allineati con il centro dell'omologia, appartengono alle semirette opposte rispetto al centro . per esempio P�( immagine del punto P) appartenga alla semiretta opposta ad SP (S: centro di proiezione; P: punto Oggettivo). Due figure omotetiche in modo inverso hanno la stesa forma ma con segmenti corrispondenti discordi. Un esempio di segmenti discordi si nota nelle immagine riflesse. Nel caso dell'omotetia non si pu� parlare di riflessione ... , anche se al riguardo c� molto da discutere.

P

Parallelismo

due entit� grafiche si dicono paralleli quando � possibile farle appartenere a due superfici parallele tra loro. Comunemente, e non solo, il termine parallelismo, viene usato solo per quelle entit� formate da rette e/o da piani.

Per esempio due rette, r,s, *sono paralleli tra loro quando gli infiniti punti di una retta r sono equidistanti da quelli dell'altra retta s. Inoltre due rette parallele hanno la propriet� di appartenere a due fasci di piani distinti che hanno, rispettivamente, tale rette, r,s come propri sostegni. in questo caso particolare, di coniche degeneri in due rette parallele, esiste un piano di sostegno comune a tutti i fasci di sostegni  parallele ed appartenenti allo stesso piano individuato dalle due rette r ed s.

* poich� le sezioni piane di un cono quadrico sono chiamate coniche,  per cui, quando il cono quadrico K viene sezionato da un piano alpha passante per il vertice V dello stesso cono, nella condizione in cui alpha non seziona nessuna generatrice di K, si ha una conica degenere in un punto e, ancora, quando alpha passa per V e tangeK, si ha una conica degenere in una retta. 
Dunque il termine coniche include anche la retta ed il punto, per cui, escludendo il punto,  � legittimo utilizzare il termine coniche complanari per indicare che i propri punti, giacciono, rispettivamente, su piani paralleli

Perpendicolarit� tra piani

un piano alpha � perpendicolare ad un retta r, quando su alpha giacciono due rette m,n perpendicolari ad r. E, anche, una retta r perpendicolare ad un piano alpha quando r risulta perpendicolare a due rette m,n di alpha. 
*esempio: dati una retta r e due piani alpha e beta non passanti per essa, si vuole determinare un terzo piano gamma  che passi per r e che sia perpendicolare a tali piani alpha e beta.

soluzione
:- si determina la retta u come intersezione tra i piani alpha e beta
- si determinano i piani Fi e gamma  come piani paralleli tra loro ed individuati dalle rette sghembe r ed u
- in questo modo il piano cercato alpha viene individuato dalla retta r, come presupposto, e da un altra rette d che passa  per un punto P di r e in modo che abbia direzione perpendicolare ad uno dei piani fi e gamma. 

Pitagora:  Nei triangoli rettangoli, l�area del quadrato costruito sull�ipotenusa � uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti

Polarita (vedi pagina)

Proiezione : operazione in cui si suppone di far passare una retta (retta proiettante) per un punto; qualora il punto appartiene ad una retta, l'insieme delle rette ------------proiettanti  che passano per l'infiniti punti della retta generano un piano proiettante.

Proiezione Ortogonale (P.O.) o metodo di Monge : l'operazione di proiettare un punto P da due centri di proiezione (C1�  C2� ), con direzione perpendicolare, a due piani ortogonali tra loro (p1 ,p2), l'intersezione determina i punti P1, P2, proezioni ortogonali del punto P

Proiettivita: si distingue in proiettvita prospettiva, detta anche  proiettivit� e in proiettivit� non prospettivia, detta anche prospetivit�.

Prospettivit�: la prospettivit� nello spazio si opera tra punti di una stella di rette. tali rette si dicono proiettanti e il loro punto comune viene detto  centro di proiezione .  Sezionando tale stella con due piani a,b non proiettanti, cio� non passanti per il centro della stella, si ha che ciascuna retta proiettante seziona tali piani a,b in  2 punti che vengono detti punti corrispondenti.

una corrispondenza biunivoca tra due figure piane, che possono essere tra loro coincidenti paralleli o incidenti. In tutti i casi le propriet� principali sono rispettivamente, quella di avere i vertici corrispondenti allineati con un punto S detto centro della  Prospettivit� e quella di avere le rette corrispondenti che si incontrano lungo una retta u detta asse della prospettivit�.

Prospettivit� tra piani con centro Proprio: Dati due piani Incidenti Alpha e Beta e un centro di proiezione O non appartenente ad essi. Scelti due rette r ed s di un piano Alpha  in modo che siano convergenti in un punto Q della retta limite dell'altro piano Beta. Si ha che le proiezioni r' ed s', di tali rette, risultano tra loro paralleli.  Questo risultato � motivatao dal fatto che La retta limite di un piano Alpha  rispetto ad un altro piano ad esso incidente Beta  � la retta d'intersezione tra il piano proiettante ( passante per O)  parallelo ad Alpha con l'altro piano Beta, detta anche immagine della retta impropria di Alpha. In questo modo la retta limite diviene luogo dei punti di alpha che hanno immagine impropria su beta

Punto improprio : punto posizionato a distanza infinita.

Retta impropria: retta costituita da infiniti punti impropri.

Piano improprio: piano che contiene punti e rette impropri.

Retta proiettiva: retta contenente un punto improprio.

Rette sghembe: quelle rette che non hanno nessun punto in comune.

Rette incidenti: quelli che hanno un punto in comune a distanza finita.

Rette parallele : che hanno un punto in comune a distanza infinita.  

Rigate: � una superficie K generata dal movimento di una retta g lungo tre direttrici. Una di quali � una retta u, detta sostegno della rigata.  tale sostegno u viene  individuato come retta comune ad un fascio di piani passanti per le generatrici della stessa rigata. Le altre due direttrici, dette direttrici di bordo, possono essere formate, rispettivamente, da qualsiasi tipo di curve geometriche: coniche, cicliche ecc.    Secondo il tipo e posizione delle direttrici di bordo le rigate si distinguono in rigate quadriche, rigate elicoidali, rigate conoidiche ( vedi conoide) ( vedi approfondimenti).

Q

* Quadrilatero sghembo: si differenzia dal quadrilatero piano per non avere tutti i punti appartenenti ad un stesso piano.

S

Sezione : questo termine ha due significati = il piano pu� indicare l'operazione susseguente la proiezione da cui si ottiene come risultato l'immagine. in tal caso l'operazione di sezione consiste nell'intersecare una o pi� rette proiettanti ovvero uno o pi� piani proiettanti .

Sezione retta di un diedro: appartiene ad un piano che ha giacitura perpendicolare al piano bisettore di tale diedro

Sezione retta di un angoloide triedrico: appartiene ad un piano che ha giacitura perpendicolare alla retta bisettrice di tale angolide.

sghembe

Due rette si dicono sghembe quando non hanno in comune nessun punto ne proprio ne improprio, cio�, non � possibile ottenere nessun piano che passi per tali rette. 

Due rette distinte si dicono in generale complanari quando hanno in comune un punto P che pu� essere proprio o improprio. In particolare vengono detti incidenti quando P � reale e, invece, paralleli quando P � immaginario, cio� rappresentato da una direzione comune a tutte le rette che sono tra loro paralleli..
Inoltre si tiene presente che due rette complanari individuano un solo piano.

Similitudine: due figure si dicono simili se hanno la stessa forma.

Tangente un ellisse: la retta tangente una ellisse in un punto T � perpendicolare alla bisettrice dell'angolo che ha per vertice il punto T ed  ha per lati  le rette passanti per i  fuochi F1,F2

Tangenza tra Curve: Due curve  tangenti tra loro in un determinato punto, significa che ammettono una sola normale in quel stesso punto.

p1 : primo piano di proiezione (orizzontale).

p2 : primo piano di proiezione (verticale frontale).

p3 : primo piano di proiezione (verticale laterale).

C1�: primo centro di proiezione (ha la direzione perpendicolare al primo piano di proiezione p1).

C2� : secondo centro di proiezione (ha la direzione perpendicolare al secondo piano di proiezione p2).

T�r : prima traccia della retta r, punto d'intersezione della retta r con p1

T"r : seconda traccia della retta r, punto d'intersezione della retta r con p2.

r1 : prima proiezione della retta r, retta d'intersezione di un piano proiettante in prima passante per r con p1.

r2 : seconda proiezione della retta r, retta d'intersezione di un piano proiettante in seconda passante per r con p2.

t�a : prima traccia del piano a , retta d'intersezione del piano a con p1.

t"a : seconda traccia del piano a , retta d'intersezione del piano a con p2 .

proiettante : contenente il centro di proiezione, si riferisce a piani o a rette passanti per il centro di proiezione

Piano proiettante in prima : piano parallelo alla direzione del primo centro di proiezione C1� (perpendicolare a p1)

 P.P. : proiezione prospettica

Punto di fuga: Immagine prospettica di un punto improprio comune ad un fascio di rette parallele.

Tangenza: (in costruzione) -  una circonferenza pu� essere tangente ad infinte circonferenza ..

Tr : Traccia della retta r , punto d'intersezione della retta r con il quadro

Punto di misura di una retta (Mx): fuga delle rette ausiliarie che sono le corde dei archi ribaltanti i punti della retta oggettiva (x) sul quadro, con una direzione perpendicolare alla bisettrice dell'angolo che forma la retta (x) con il quadro. Il punto di misura � utile a determinare sia gli immagini prospettiche di segmenti oggettivi noti, sia a restituirvi le vere misure.

Fuga di un piano: immagine della rette impropria di una piano determinata come  retta  d'intersezione del piano proiettante parallelo al piano oggettivo con il quadro.  quindi in prospettiva si pu� affermare che piani paralleli hanno la stessa fuga.

Traccia di un piano: retta d'intersezione di un piano (p1) con il piano di proiezione p .

P.A. : proiezione assonometrica

p : piano di proiezione o quadro, pu� avere diverse giaciture ( orizzontale, verticale, inclinato)

 C� : centro di proiezione pu� avere la direzione perpendicolare o obliqua rispetto al quadro

Ho il piacere di  ospitare due glossari utili: Arte e Grafica 3D

Indice

Home