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Isawi HomePage / Geometria / costruzione : Perpendicolarità tra piani


Una classica domanda da esame:
Dati le proiezioni ortogonali di un piano alpha individuato di tre punti ABC, e, anche, la prima proiezione di una retta r appartenente ad alpha. Determinare le tracce del piano beta  passante per la retta  r in modo che risulti perpendicolare al piano dato alpha

Nella figura sottostante il disegno di sinistra rappresenta i dati e quello a destra  la soluzione


Prima di rispondere alla sopradetta domanda, ripassiamo alcuni concetti importanti

- Un piano beta è perpendicolare ad un altro piano alpha, se beta ha una retta h perpendicolare ad alpha

- Una retta h è perpendicolare ad un piano alpha se h è perpendicolare a due rette di alpha

- Una retta h appartiene ad un piano beta se due punti di h appartengono a due rette di beta.

- Due rette h ed r sono complanari se appartengono ad un stesso piano beta

 

 

..  durante la lezione lo studente, seduto dietro all'impostazione computerizzata, alza la mano e dice: mi scusi prof. ma io come faccio a sapere che due date rette sono complanari?. Il prof. seduto dietro al proiettore, si gira e dice: questa si che una bella domanda e comincia a rispondere: stabilito di avere due rette s,c con un punto A che può essere a loro comune o solamente una loro apparente intersezione . CMQ, per verificare tale dubbio: si proiettano tali rette s,c da due centri di proiezione distinti. se nei risultati ottenuti si ha che le proiezioni di A sono comuni alle proiezione delle rette s,c ., vuole dire che tali rette sono incidenti , altrimenti sono dette rette sghembe ( vuole dire che non si toccano neanche da lontano) . E visto che siamo nel era tecnologica si può rispondere dicendo: basta cambiare il punto di vista o semplicemente: guardali da un altra parte.

dopo questa chiacchierata, diamoci da fare nel rispondere alla domanda  in questione:

Risposta

In considerazione del fatto che una retta è perpendicolare ad un piano se risulta perpendicolare a due rette di tale piano.

secondo tale considerazione stabiliamo che tali due rette  siano le tracce del piano dato alpha. 
Con il fine di avere la prima traccia di alpha scegliamo di determinare le tracce di due rette r, f, appartenenti ad  alpha, procedendo come segue: 

- si determina la seconda proiezione r2 della retta data r, sapendo per presupposto che essa appartiene ad alpha

- si determinano le prime tracce delle rette r, f,  e si uniscono individuano la prima traccia di Alpha

- - si determinano le seconde tracce delle rette r, f,  e si uniscono individuano la seconda traccia di Alpha

per determinare le proiezioni ortogonale di una retta g perpendicolare ad alpha

- si stabiliscono le proiezioni ortogonali P1,P2 di un punto P esterno ad Alpha 

- si determinano le proiezioni ortogonali g1 e g2 della retta g in modo che passino, rispettivamente, per P1 e P2 e risultano perpendicolari alle tracce omonime di alpha.

per determinare le tracce del piano beta perpendicolare al piano alpha e passante per la retta  r

-  si stabilisce un punto Q appartenente ad r e per esso si fa passare una retta h parallela alla retta g

- si uniscono le tracce delle rette r ed h, individuano le tracce del piano beta. La risposta è Tutto qua


Intanto continua la ricerca riguardante in generale lo studio sugli  angoloidi poliedrici e  in particolare su come  determinare dei possibili asse principale e sezione retta di un tetraedro generico.

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