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Isawi HomePage / Geometria / costruzione : bisettrice e sezione retta di angoloidi poliedrici

Bisettrice

nel piano
la bisettrice di un angolo piano di vertice V, è la retta che ha la proprietà di essere il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle due retta formanti tale angolo.

Nello spazio
la bisettrice b di un angoloide di vertice V, è la retta che ha la proprietà di essere il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle facce formanti quel angoloide.

Proviamo ad analizzare i casi di angoloidi poliedrici in cui bisogna determinarvi la bisettrice b:
-  se l'angoloide K è triedro, la bisettrice b si determina in due modi: 

primo modo

1- sezionare K con un sfera, non degenere, che ha centro nel vertice di K. 

2- Disegnare il  triangolo ABC congiungendo  i punti ottenuti dall'intersezione della sfera coi tre spigoli di K con la sfera.

3- determinando la retta passante per V e  perpendicolare al piano del triangolo ABC,  si ha  la bisettrice cercata b.

Nota: il triangolo ABC  ottenuto come sopra, viene chiamato una sezione retta del triedro K

Secondo modo

1- Determinando la retta comune ai piani che bisecano le facce di  K si ha la bisettrice cercata b.

- se l'angoloide K ha facce maggiori di tre

- K ha come propria sezione retta un poligono regolare, in questo caso e senza dubbi, la bisettrice b  è la retta passante per il centro della circonferenza inscrittta o circoscritta a tale poligono. ( da ricordare che nei casi dei poligoni regolari l'incentro coincide con il circocentro)

-  se K ha come propria sezione retta un poligono irregolare. occorre procedere ad ulteriori classifiche:

- K ha come sezione retta un poligono irregolare inscrittibile in una circonferenza. in questo modo tale circonferenza può essere la sezione piana di infinite sfere, la cosa importante è che tutte hanno i propri centri sulla retta perpendicolare al piano del poligono, cioè la bisettrice del angoloide cercata.

Nota : condizione per cui un quadrilatero e in generale un poligono è inscrittibile in una circonferenza.
se due angoli interni opposti sono supplementari (=180).

 attenzione  il caso seguenti è in fase di elaborazione

- K ha come sezione retta un poligono irregolare non inscrittibile in una circonferenza, in questo caso non esiste nessuna sfera che ha la superficie passanti per i vertici di tale poligono.


 
Ro2os aklam:

 Bisettrice di un triedro K- sezione retta di K - sfera e cono di rotazione inviluppati da K


 

Esempio

stabilito di avere un triedro K con vertice in V. Due dei tre piani formanti  il tiredro K (vedi figura) sono, rispettivamente, proiettanti in prima  e proiettante in seconda proiezione.

La bisettrice b di un qualsivoglia triedro k è  facilmente individuabile come  retta comune ai tre piani che bisecano, due a due,  i tre piani di K. Tale bisettrice ci è utile perchè  rappresenta il luogo dei punti che hanno, ciascuno, la stessa distanza rispetto ai  tre piani formanti un triedro. perciò è possibile, ad esempio, determinare una sfera delta ( non degenere)  che ha centro in un punto qualsiasi di b e che risulti tangenti i triedro K. Ne consegue, la possibilità di determinare di cono di rotazione inviluppato dai tre piani di K. Tale cono ha come vertice lo stesso vertice di K ed ha come una propria sezione retta la circonferenza individuata dai tre punti di tangenza di una sfera delta con i tre piani formanti K.

per determinare il piano bisettore a due piani tra loro generici, occorre saper applicare i seguenti concetti:

- perpendicolarità di una retta ad un piano

- perpendicolarità di un piano ad un altro piano

- vera misura dell'angolo formato da due piani

- intersezione tra due piani


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